शंकु (cone)किसे कहते हैं ?

शंकु (cone) किसे कहते है ?

शंकु (cone) –

परिभाषा :- समकोण त्रिभुज मे समकोण बनाने वाली भुजाओं मे से किसी एक भुजा को अक्ष मानकर त्रिभुज को घुमाने से बनी आकृति लम्ब वृत्तीय शंकु(Right Circular cone) कहते है।

एक शंकु मे एक शीर्ष एवं एक वृत्तीय आधार वाला एक वक्रपृष्ठ होता है। V शीर्ष (vertex)है, आधार O केंद्र वाला वृत्त है और त्रिज्या OA = OB = r है। यदि रेखा VO, आधार के लम्बवत् है तो शंकु को लम्ब वृत्तीय शंकु कहते हैं।

रेखाखंड VO की लम्बाई, शंकु की ऊँचाई h कहलाती है। रेखा VO शंकु का अक्ष (axis) कहलाती है।

आधार वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से शीर्ष की दूरी शंकु की तिर्यक ऊँचाई (Slant height) कहलाती है। इसे l से प्रदर्शित करते है।



शंकु की विशेषताएं :-

1. शंकु का आधार वृत्त होता है।

2. आधार के समानांतर किसी समतल द्वारा शंकु की काट वृत्ताकार होती है।

3. शंकु के अक्ष से होकर जाने वाला समतल उसको एक समद्विबाहु त्रिभुज में काटता है। इस त्रिभुज का शीर्ष कोण शंकु के शीर्ष के समान होता है।



मुख्य सूत्र :-

समकोण ∆VOB मे ,

पाइथागोरस प्रमेय सेVB² = VO² + OB²l² = h²+r²

1. (तिर्यक ऊँचाई)² = (ऊँचाई)² + (त्रिज्या)²

2. शंकु के आधार की परिधि = 2πr

3. शंकु के आधार का क्षेत्रफल = πr²

शंकु का वक्रपृष्ठ , संपूर्ण पृष्ठ एवं आयतन :-

यदि शंकु के आधार की त्रिज्या = r,ऊँचाई = h , तथा तिर्यक ऊँचाई = l हो, तो

शंकु का वक्रपृष्ठ = 1/2 × (आधार की परिधि)×(तिर्यक ऊँचाई)= 1/2 × 2πr × l = πrl

■ शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl

शंकु का संपूर्ण पृष्ठ = शंकु का वक्रपृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल= πrl + πr² = πr ( l + r)

 ■ शंकु का संपूर्ण पृष्ठ = πr ( l + r)

शंकु का आयतन =1/3 ×आधार का क्षेत्रफल×ऊँचाई= 1/3 × πr² × h = 1/3 πr²h

■ शंकु का आयतन = 1/3 πr²h

शंकु के वक्रपृष्ठ एवं आयतन को उसकी ऊँचाई और अर्ध शीर्ष कोण के पदों में व्यक्त करना।



मान लीजिए VAB एक शंकु है जिसकी त्रिज्या OB = r, तिर्यक ऊँचाई = VB = l , ऊँचाई= VO = h और अर्ध शीर्ष कोण = α है।

समकोण ∆VOB मे,

tanα = BO/OV = r / hr = h tanα ………. (i)

और

sec α = BV/OV = l / hl = h sec α ………. (ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl = π h tanα × h sec α= π h² tanα . sec α

■ शंकु का वक्रपृष्ठ = π h² tanα . sec α

शंकु का आयतन = V = 1/3πr²h= 1/3π (h tanα)²h= 1/3 π h³tan²α

शंकु के वक्रपृष्ठ एवं आयतन को उसके आधार की त्रिज्या और अर्ध शीर्ष कोण के पदों मे व्यक्त करना।



मान लीजिए VABएक शंकु है। जिसकी त्रिज्या OA = OB =r, ऊँचाई OV = h तिर्यक ऊँचाई VB = l और अर्ध शीर्ष कोण BVO = α है।समकोण ∆VOB मे cosec α = VB/OB = l / r

l = r cosec α

और cot α = OV /OB = h / r

h = r cot α

शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl = πr r cosec α= πr² cosec α

■ शंकु का वक्रपृष्ठ = πr² cosec α

शंकु का आयतन V = 1/3πr²h= 1/3π × r² × r cot α= 1/3 πr³ cot α

शंकु का आयतन = 1/3 πr³ cot α

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