प्रिज्म से अपवर्तन (आंकिक प्रश्न )

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1. एक प्रिज्म ( μ = 1.5 ) का कोण 60° हैं। न्यूनतम विचलन का कोण ज्ञात कीजिए। प्रिज्म से अपवर्तन (आंकिक प्रश्न )

हल :- दिया है – μ = 1.5
सूत्र – μ = sin (A+δm)/2 / sin A/2

सूत्र में मान रखने पर ,
1.5 = sin (60º + δm)/2 / sin(60º/2)
⇒1.5 x sin30º = sin (60º + δm)/2
⇒sin (60º + δm)/2 = 1.5 x 1/2
⇒sin (60º + δm)/2 = 0.75
⇒(60º + δm)/2 = sin ⁻¹ ( 0.75 ) = 48.36º
⇒(60º + δm) = 2 x 48.36º = 97.2º
⇒ δm = 97.2º – 60º = 37.2º

2.एक प्रिज्म का अपवर्तक कोण 60° है। उसके द्वारा उत्पन्न नीले , लाल और पीले रंग के न्यूनतम विचलन कोण क्रमशः 53°, 51° और 52° हैं। प्रिज्म के पदार्थ की वर्ण विक्षेपण क्षमता क्या होगी ?

हल :- दिया है – A = 60º , δv = 53º , δr = 51º , δy = 52º
सूत्र ω = δv – δr / δy
ω = 53 – 51 / 52 = 2 / 52
ω = 0.038

3. बैंगनी , पीले एवं लाल रंग के लिए किसी प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक क्रमशः 1.62 , 1.59 एवं 1.52 हैं। निम्न की गणना कीजिए –
(1). प्रिज्म के पदार्थ की वर्ण विक्षेपण क्षमता
(2). कोणीय वर्ण विक्षेपण यदि माध्य विचलन 40° हो।
हल :- दिया है – μv = 1.62 , μy = 1.59 ,
μ = 1.52
(1). ω = μv – μr / μy-1
ω = 1.62 – 1.52 / 1.59 – 1
= 0.10 / 0.59
ω = 0.169

(2). दिया है – δy = 40º
सूत्र से – ω = θ / δy
θ = ω x δy = 0.169 x 40º
θ = 6. 76º

अपवर्तनांक –

4. एक प्रिज्म का अपवर्तक कोण 60° है। यदि न्यूनतम विचलन का कोण 38° हो ,तो प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक ज्ञात कीजिए। (sin 49° = 0.7547 ) प्रिज्म से अपवर्तन (आंकिक प्रश्न )

हल :- सूत्र : μ = sin (A+δm)/2 / sin A/2
दिया गया है : A = 60° , δm = 38°

सूत्र में मान रखने पर ,

μ = sin ( 60°+ 38°)/2 / sin 60°/2
= sin 49°/ sin30°
μ = 0.7547 / 0.5000 = 1.5094.

5. प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक 1.65 है। यदि यह प्रकाश किरणों को 7.5° के कोण से विचलित करता है , तो प्रिज्म के कोण की गणना कीजिए।
हल :- δ = (μ – 1)A

दिया गया है : μ = 1.65 , δ = 7.5º

उपयुक्त सूत्र से , A = δ / (μ – 1)
मान रखने पर , A = 7.5º/ 1.65 – 1
A = 7.5 / 0.65 = 11.5º

विचलन कोण –

6. एक प्रिज्म ( μ = 1.5 ) का अपवर्तक कोण 30° है। इसके एक पृष्ठ पर लम्बवत् आपतित एकवर्णी प्रकाश किरण के लिए विचलन कोण ज्ञात कीजिए। (sin 48°36′ = 0.75)

हल:- दिया है : μ = 1.5 , A = 30º , i = 0

(चूंकि प्रकाश किरण लम्बवत् आपतित होती हैं। )

चूंकि आपतन कोण i₁ = 0 ,
अतः अपवर्तक कोण r₁ = 0
अब r₁ + r₂ = A , 0 + r₂ = A
या r₂ = A = 30º
परन्तु μ = sin i₂ / sin r₂
या sin i₂ = μ . sin r₂ = 1.5 x sin 30º
या sin i₂ = 1.5 x 1/2 = 0.75
sin i₂ = sin 48°36′ , i₂ = 48°36′
परन्तु δ + A = i₁ + i₂
या δ = i₁ + i₂ – A = 0 + 48°36′ – 30º
δ = 18º36′ .

7. 1.5 अपवर्तनांक वाले काँच के प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन कोण प्रिज्म के कोण के बराबर है। प्रिज्म का कोण ज्ञात कीजिए। (cos 41°24′ = 0.75)

हल :- मानलो δm = A = θ

सूत्र μ = sin (A+δm)/2 / sin A/2 ,
1.5 = sin (θ + θ)/2 / sin θ/2
= sin θ / sin θ/2
1.5 = (2sin θ / 2cos θ / 2) / sin θ/2
2cos θ/2 = 1.5
cos θ/2 = 0.75 = cos 41°24′
θ/2 = 41°24′
θ = 82º48′

8. एकवर्णी किरण पुँज के लिए एक प्रिज्म का अपवर्तनांक √2 है तथा इसका अपवर्तक कोण 60° है। इस किरण पुँज में न्यूनतम विचलन होने के लिए आपतन कोण क्या होगा ? अपवर्तन कोण का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :- सूत्र μ = sin (A+δm)/2 / sin A/2 ,

तथा न्यूनतम विचलन की स्थिति में ,
i = (A+δm)/2
दिया गया है : μ =√2 , A=60°

सूत्र में मान रखने पर ,
√2 = sin (A+δm)/2 / sin 60°/2 ,
√2 = sin (A+δm)/2 / sin 30°
या sin (A+δm)/2 = √2 sin 30° = √2×1/√2
या (A+δm)/2 = 45°
i = 45°
पुनः r = A/2 =60°/2 = 30°.

9. किसी प्रिज्म की एक सतह पर प्रकाश किरण 10° के कोण पर आपतित होती है तथा दूसरी सतह को स्पर्श करती हुई चली जाती है। यदि प्रिज्म का कोण 40° हो , तो विचलन कोण का मान कितना होगा ?हल :- सूत्र A + δ = i₁ + i₂

दिया है : A = 40° , i₁ = 10°
प्रकाश किरण दूसरी सतह को स्पर्श करती हुई चली जाती है।
अतः i₂ = 90º
उपर्युक्त सूत्र में मान रखने पर ,
40º + δ = 10º + 90º
δ = 100 – 40
δ = 60º

वर्ण विक्षेपण –

10. किसी प्रिज्म के लिए बैंगनी एवं लाल रंग के प्रकाश के अपवर्तनांक क्रमशः 1.659 तथा 1.641 हैं। यदि प्रिज्म का कोण 10° हो , तो सम्पूर्ण वर्ण-विक्षेपण ज्ञात कीजिए।
हल :- सम्पूर्ण वर्ण-विक्षेपण = (μv – μr)A
दिया है : μv = 1.659 , μr = 1.641 , A = 10º

सूत्र में मान रखने पर ,

सम्पूर्ण वर्ण-विक्षेपण = (1.659 – 1.641) x 10
= 0.018 x 10
सम्पूर्ण वर्ण-विक्षेपण = 0.18º

11. बैंगनी और लाल रंग के प्रकाश के लिए फ्लिण्ट काँच के अपवर्तनांक क्रमशः 1.659 और 1.641 हैं। फ्लिण्ट काँच की वर्ण-विक्षेपण क्षमता ज्ञात कीजिए।
हल :- सूत्र : ω = μv – μr / μy – 1
दिया है : μv = 1.659 , μr = 1.641
μy = 1.659 + 1.641 / 2 = 3.300 / 2 = 1.65

सूत्र में मान रखने पर ,

ω = 1.659 – 1.641 / 1.65 – 1
ω = 0.018 / 0.65 = 0.028

12. यदि लाल , पीले और बैंगनी रंग के लिए फ्लिण्ट काँच के अपवर्तनांक क्रमशः 1.6434 , 1.6499 और 1.6852 हों , तो फ्लिण्ट-काँच की वर्ण विक्षेपण क्षमता ज्ञात कीजिए।
हल :- सूत्र : ω = μv – μr / μy – 1
दिया है : μv = 1.6852 , μy = 1.6499
μr = 1.6434

सूत्र में मान रखने पर ,

ω = 1.6852 – 1.6434 / 1.6499 – 1
= 0.0418 / 0.6499
ω = 0.064

13. क्रॉउन काँच के प्रिज्म के लिए μv = 1.523 तथा μr = 1.515 है एवं फ्लिण्ट काँच के प्रिज्म के लिए μv‘ = 1.688 तथा μr‘ = 1.650 है। यदि क्रॉउन काँच के प्रिज्म का योग 5° हो , तो फ्लिण्ट काँच के प्रिज्म का कोण ज्ञात कीजिए ताकि विचलन रहित वर्ण-विक्षेपण प्राप्त हो।
हल :- सूत्र : A/A’ = -( μy – 1 / μy – 1)
दिया है : μy = μv + μr / 2
μy = 1.523 + 1.515 / 2 = 1.519
μy’ = μv’ + μr’ / 2

= 1.688 + 1.650 / 2
μy = 1.659
तथा A = 5º

सूत्र में मान रखने पर ,

5/A’ = – ( 1.659 – 1 / 1.519 – 1 )
5/A’ = – 0.659/ 0.519
A’ = – 5 x 0.519 / 0.659
A’ = – 3.94º

प्रिज्म से अपवर्तन (आंकिक प्रश्न )